近年來(lái)，我國(guó)城市軌道交通建設(shè)和運(yùn)營(yíng)得到了快速發(fā)展。截至 2022 年底，中國(guó)大陸地區(qū)（不含港澳臺(tái)）共有 55 個(gè)城市開(kāi)通城市軌道交通運(yùn)營(yíng)線路 308 條，運(yùn)營(yíng)線路總長(zhǎng)度超一萬(wàn)公里[1]。其中，地鐵運(yùn)營(yíng)線路 8008.17 公里，占比 77.84%。

 

傳統(tǒng)多自由度車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)，將車輛考慮為多剛體系統(tǒng)，軌道基礎(chǔ)系統(tǒng)中鋼軌多采用梁?jiǎn)卧M，并將他們之間的相互作用簡(jiǎn)化彈簧-阻尼單元。但是實(shí)際車輛軌道系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是一個(gè)非線性耦合系統(tǒng)，因此需要?jiǎng)?chuàng)建更為精細(xì)的模型，以更加準(zhǔn)確地分析車輛、軌道系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)。同時(shí)通過(guò)計(jì)算并與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了模型的正確性，為地鐵車輛軌道系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)提供了一種分析實(shí)現(xiàn)方法。

 

車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型

車輛－軌道基礎(chǔ)耦合動(dòng)力學(xué)模型通過(guò)輪軌接觸關(guān)系將車輛系統(tǒng)的振動(dòng)與軌道基礎(chǔ)系統(tǒng)的振動(dòng)耦合到一起，實(shí)現(xiàn)了車輛與軌道系統(tǒng)的實(shí)時(shí)耦合振動(dòng)分析。本文采用有限單元法建立車輛－軌道－路基耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)方程可以表示為：

 

 

 

ABAQUS/Explicit 顯式計(jì)算法基于中心差分法來(lái)求解有限元模型，每次求解迭代由上一增量步的計(jì)算結(jié)果“顯式”地求解出下一個(gè)增量步，經(jīng)多次迭代從而完成整個(gè)有限元模型的求解。

 

 

 

通過(guò)上述步驟獲得初始響應(yīng)后，可以按照加速度顯式地求解出速度及位移響應(yīng)，當(dāng)增量步迭代達(dá)到設(shè)定分析時(shí)長(zhǎng)后，即獲得系統(tǒng)在整個(gè)分析步的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

 

如圖 2.1 所示，系統(tǒng)的有限單元模型主要包含輪對(duì)、構(gòu)架、車體組成的車輛系統(tǒng)以及鋼軌、扣件、彈性復(fù)合長(zhǎng)軌枕、道床基礎(chǔ)等組成的軌道基礎(chǔ)系統(tǒng)，且車輛系統(tǒng)與軌道基礎(chǔ)系統(tǒng)通過(guò)輪軌接觸關(guān)系耦合起來(lái)，系統(tǒng)的激勵(lì)源主要為軌道不平順。

 

 

圖 2.1 車輛－軌道－基礎(chǔ)三維有限元耦合模型

 

車輛模型

車輛子系統(tǒng)的振動(dòng)方程，也可描述為式(2.1)所示的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣及外激勵(lì)的形式。對(duì)于簡(jiǎn)單的動(dòng)力學(xué)模型可以使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律建立其運(yùn)動(dòng)方程，但是更具普遍性地，當(dāng)車輛自由度較多時(shí)，哈密爾頓變分原理能夠更有效地構(gòu)建出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程[2]。

 

設(shè)系統(tǒng)的某一廣義坐標(biāo)為 、其一階導(dǎo)數(shù) 即為相對(duì)應(yīng)的廣義速度。

 

 

 

通過(guò)上述原理便可以快速建立出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(2.1)中所示的質(zhì)量陣 、阻尼陣 、剛度陣 以及力載荷向量 ，但此時(shí)的矩陣或向量維度要遠(yuǎn)小于(2.1)式中相應(yīng)矩陣的維度，它只表示了車輛子系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)自由度的振動(dòng)方程。

 

本文車輛多剛體模型采用六編組的地鐵 B 型車，每節(jié)車輛由一個(gè)車體、兩個(gè)構(gòu)架及四個(gè)輪對(duì)組成，每個(gè)剛體考慮了表 2.1 中所示的橫向運(yùn)動(dòng)、垂向運(yùn)動(dòng)、側(cè)滾運(yùn)動(dòng)、搖頭運(yùn)動(dòng)以及點(diǎn)頭運(yùn)動(dòng) 5 個(gè)空間自由度，即每節(jié)車輛模型包含有 35 個(gè)自由度。

 

表 2.1 車輛模型中所考慮的自由度

 

 

為降低矩陣維度，提高計(jì)算效率，本文建立的詳細(xì)三維有限元模型，所有部件均采用剛體。如圖 2.2 所示，車輛模型的一系懸掛和二系懸掛采用三維彈簧－阻尼線單元模擬，輪對(duì)、構(gòu)架以及車體的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等屬性直接集中加載到各部件的剛體質(zhì)心上。車輛計(jì)算模型的參數(shù)參考文獻(xiàn)[5]中 B 型車參數(shù)表所列，車輛的運(yùn)行速度設(shè)置為 80km/h。

 

 

圖 2.2 車輛有限元模型

 

軌道基礎(chǔ)模型

本文計(jì)算模型中軌道基礎(chǔ)主要由鋼軌、扣件、彈性長(zhǎng)軌枕以及道床基礎(chǔ)等組成，按照表 2.2 中所列出的參數(shù)建立三維實(shí)體有限元模型。

 

表 2.2 彈性復(fù)合長(zhǎng)枕式減振軌道參數(shù)

 

 

(1) 鋼軌、扣件

有限元模型中，扣件采用軌底對(duì)稱分布的一組彈簧－阻尼單元模擬，其剛度、阻尼參數(shù)值按照扣件的參數(shù)來(lái)設(shè)定，其斷面連接形式如圖 2.3(a)所示；在縱向分布上，按照工程線路中扣件的布置方式，采用離散點(diǎn)支撐方式，如圖 2.3(b)所示。

 

 

圖 2.3 鋼軌、扣件有限元模型

 

(2) 彈性長(zhǎng)軌枕

如圖 2.4(a)所示，彈性長(zhǎng)軌枕有限元實(shí)體模型由兩種單元類型構(gòu)成：軌枕采用 C3D8 單元；承擔(dān)減振作用的枕下彈性墊板，因其考慮橡膠材料的非線性、大變形等則采用 C3D8H 單元[6]。在有限單元模型中，為模擬橡膠與軌枕之間的貼合狀態(tài)，在軌枕和橡膠彈性墊間設(shè)置接觸，并且按照網(wǎng)格的疏密程度，將橡膠墊的接觸面設(shè)置為主接觸面。

 

 

圖 2.4 彈性長(zhǎng)軌枕有限元模型

 

(3) 道床基礎(chǔ)

如圖 2.5 所示，道床基礎(chǔ)跟軌枕采用一致的單元類型，即 C3D8 單元。在軌道基礎(chǔ)上設(shè)有一定高度的承軌臺(tái)，用于安置彈性長(zhǎng)軌枕及鋼軌、扣件等，對(duì)于承軌臺(tái)所在區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行局部加密處理，而對(duì)軌道基礎(chǔ)傳遞方向上的網(wǎng)格密度可以逐漸變得稀疏，在保證網(wǎng)格質(zhì)量和計(jì)算精度的前提下，可大大提高模型的計(jì)算速度。

 

道床基礎(chǔ)與鋼軌、扣件、軌枕通過(guò)橡膠減振墊板連接。在實(shí)際軌道鋪設(shè)中，將軌枕按照線路設(shè)計(jì)要求固定之后，將其直接澆筑到基礎(chǔ)上，因此有限元計(jì)算模型中采用“Tie”連接方式。

 

為了更真實(shí)地模擬基礎(chǔ)的無(wú)限邊界特性，在基礎(chǔ)的外圍設(shè)置彈性人工邊界層，并將彈性邊界層的外圍全固定約束，從而實(shí)現(xiàn)有限元模型中無(wú)限邊界的模擬。

 

 

圖 2.5 道床基礎(chǔ)有限元模型

 

軌道不平順

軌道不平順是車輛－軌道耦合系統(tǒng)最主要的激振源，直接影響車輛系統(tǒng)及軌道系統(tǒng)的響應(yīng)，因此選擇合適的不平順擬合譜對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征分析至關(guān)重要。由于我國(guó)城市軌道交通中沒(méi)有統(tǒng)一、成熟的不平順密度譜函數(shù)，本文選擇美國(guó)軌道不平順擬合譜。

 

 

 

根據(jù)文獻(xiàn)[13]中的車輛運(yùn)行速度范圍選取參數(shù)，生成美國(guó)六級(jí)譜軌道不平順樣本如圖 2.6 所示，樣本包括左、右軌道的高低不平順及水平不平順。通過(guò)自編程 MATLAB 腳本，將軌道不平順按照鋼軌節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)逐個(gè)插值疊加的方式施加到鋼軌實(shí)體單元上，施加軌道不平順后的局部鋼軌如圖 2.7 所示。

 

 

圖 2.6 軌道不平順樣本

 

圖 2.7 施加軌道不平順的鋼軌有限元模型

 

2.4 輪軌接觸模型

輪軌相互作用是將車輛系統(tǒng)和軌道系統(tǒng)耦合的重要紐帶，主要包括輪軌接觸幾何關(guān)系及輪軌相互作用力關(guān)系。輪軌空間接觸幾何關(guān)系的計(jì)算通常采用跡線法；輪軌相互作用力主要有輪軌法向力和蠕滑力。輪軌蠕滑力可用 Kalker 線性蠕滑理論計(jì)算，但考慮到車輛運(yùn)行中，輪軌間蠕滑有可能達(dá)到飽和，因此需要用 ShenHedrick-Elkins 理論再進(jìn)行非線性修正。

 

輪軌間的法向力由 Hertz 非線性彈性接觸理論確定：

 

 

 

圖 2.8 Hertz 非線性彈性接觸曲線

 

縱向蠕滑力則采用 FASTSIM 算法，最終將車輪與鋼軌耦合起來(lái)，完成后的輪軌有限元接觸模型如圖 2.9 所示。

 

 

圖 2.9 三維實(shí)體車輪－鋼軌接觸模型

 

3. 計(jì)算模型及其驗(yàn)證

為驗(yàn)證計(jì)算模型的準(zhǔn)確性，按照第 2 節(jié)的建模思路建立如圖 2.10 所示的車輛-軌道基礎(chǔ)動(dòng)力學(xué)模型，與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。本文采用了西安地鐵某標(biāo)段的測(cè)試數(shù)據(jù)，主要對(duì)比參數(shù)為鋼軌垂向位移及鋼軌垂向振動(dòng)加速度?，F(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)標(biāo)段運(yùn)行的車輛為地鐵 B 型車，采用六節(jié)編組，運(yùn)行速度大約為70km/h，選取某鋼軌斷面處的垂向位移和振動(dòng)加速度。

 

 

圖 2.10 車輛－軌道基礎(chǔ)有限元模型

 

 

 

從圖 2.11 和圖 2.12 中對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)：理論計(jì)算模型和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的響應(yīng)基本吻合，其中鋼軌最大位移為 0.54mm，鋼軌振動(dòng)加速度則達(dá)到 40m/s2。表明本文中建立的車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型有效、準(zhǔn)確，可用于后續(xù)計(jì)算工作中。

 

4. 結(jié)論

本文基于車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論，建立了精細(xì)化車輛－軌道耦合動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)與線路實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析，驗(yàn)證了該有限元模型的準(zhǔn)確性。為地鐵車輛－軌道系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析和研究提供了一種新的思路和實(shí)現(xiàn)方法。

 

資料來(lái)源：達(dá)索官方