1. 線性分析

外加載荷與系統(tǒng)的響應(yīng)之間為線性關(guān)系。例如線性彈簧，結(jié)構(gòu)的柔度陣（將剛度陣集成并求逆）只需計(jì)算一次。通過將新的載荷向量乘以剛度陣的逆，可得到結(jié)構(gòu)對(duì)其它載荷情況的線性響應(yīng)。

此外，結(jié)構(gòu)對(duì)各種載荷情況的響應(yīng)，可以用常數(shù)放大和/或相互疊加，以確定它對(duì)一種全新載荷情況的響應(yīng)，所提供的新載荷情況是前面各種載荷的疊加（或相乘）。這種載荷的疊加原理假定所有的載荷情況采用了相同的邊界條件。

2. 非線性分析

非線性結(jié)構(gòu)問題是指結(jié)構(gòu)的剛度隨其變形而改變。所有的物理結(jié)果均是非線性的。線性分析只是一種近似，它對(duì)設(shè)計(jì)來說通常已經(jīng)足夠了。但是，對(duì)于許多結(jié)構(gòu)包括加工過程的模擬（諸如鍛造或者沖壓）、碰撞分析以及橡膠部件的分析（諸如輪胎或者發(fā)動(dòng)機(jī)支座），線性分析是不夠的。一個(gè)簡單例子就是具有非線性剛度響應(yīng)的彈簧。

線性彈簧，剛度是常數(shù)

非線性彈簧，剛度不是常數(shù)

由于剛度依賴于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加載荷的方法來計(jì)算任意載荷時(shí)彈簧的位移。在非線性隱式分析中，結(jié)構(gòu)的剛度陣在整個(gè)分析過程中必須進(jìn)行許多次的生成和求逆，分析求解的成本比線性隱式分析昂貴得多。在顯式分析中，非線性分析增加的成本是由于穩(wěn)定時(shí)間增量減小而造成的。

非線性系統(tǒng)的響應(yīng)不是所施加載荷的線性函數(shù)，因此不能通過疊加來獲得不同載荷情況的解答。每種載荷情況都必須作為獨(dú)立的分析進(jìn)行定義和求解。

3. 非線性的來源

在結(jié)構(gòu)的力學(xué)模擬中有三種：材料非線性、邊界非線性（接觸）、幾何非線性。

(1) 材料非線性

大多數(shù)金屬在低應(yīng)變值時(shí)都具有良好的線性應(yīng)力/應(yīng)變關(guān)系；但是在高應(yīng)變時(shí)材料發(fā)生屈服，此時(shí)材料的響應(yīng)成為了非線性和不可恢復(fù)的。橡膠材料等也是一種非線性、可恢復(fù)（彈性）響應(yīng)的材料。

材料的非線性也可能與應(yīng)變以外的其它因素有關(guān)。應(yīng)變率相關(guān)材料數(shù)據(jù)和材料失效都是材料非線性的形式。材料性質(zhì)也可以是溫度和其它預(yù)先定義的場(chǎng)變量的函數(shù)。

(2) 邊界非線性

如果邊界條件在分析過程中發(fā)生變化，就會(huì)產(chǎn)生邊界非線性問題。懸臂梁隨著施加的載荷產(chǎn)生撓曲。

梁端點(diǎn)在接觸到障礙物以前，其豎向撓度與載荷成線性關(guān)系（如果撓度是小量）。當(dāng)碰到障礙物時(shí)梁端點(diǎn)的邊界條件發(fā)生了突然的變化，阻止了任何進(jìn)一步的豎向撓度，因此梁的響應(yīng)將不再是線性的。邊界非線性是極度的不連續(xù)；當(dāng)在模擬中發(fā)生接觸時(shí)，結(jié)構(gòu)中的響應(yīng)在瞬時(shí)會(huì)發(fā)生很大的變化。

另一個(gè)邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過程。在與模具接觸前，板材在壓力下比較容易發(fā)生伸展變形。在與模具接觸后，由于邊界條件的改變，必須增加壓力才能使板材繼續(xù)成型。

(3) 幾何非線性

幾何非線性發(fā)生在位移大小影響到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情況。由于：大撓度或大轉(zhuǎn)動(dòng)；突然翻轉(zhuǎn)（Snap through）；初應(yīng)力或載荷剛性化。

如果端部的撓度較小，可以認(rèn)為是近似的線性分析。然而，如果端部的撓度較大，結(jié)構(gòu)的形狀乃至其剛度都會(huì)發(fā)生改變。另外，如果載荷不能保持與梁軸垂直，載荷對(duì)結(jié)構(gòu)的作用也將發(fā)生明顯的改變。當(dāng)懸臂梁撓曲時(shí)，載荷的作用可以分解為一個(gè)垂直于梁的分量和一個(gè)沿梁長度方向的分量。這兩種效應(yīng)都會(huì)對(duì)懸臂梁的非線性響應(yīng)產(chǎn)生貢獻(xiàn)（即，隨著梁承受載荷的增加，梁的剛度發(fā)生變化）。

不難理解大撓度和大轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)承載的方式會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。然而，并不一定位移相對(duì)于結(jié)構(gòu)尺寸很大時(shí)，幾何非線性才顯得重要。考慮一塊很大的具有小曲率的板在所受壓力下的“突然翻轉(zhuǎn)”。

板的剛度在變形時(shí)會(huì)產(chǎn)生劇烈的變化。當(dāng)板突然翻轉(zhuǎn)時(shí)，剛度變負(fù)；盡管位移量值相對(duì)于板的尺寸很小，但是有明顯的幾何非線性，必須在模擬中加以考慮。

4. 非線性分析步驟

·         建立模型

·         基本方程的公式

·         離散方程

·         求解方法

·         表述結(jié)果

5. 非線性有限元基本解決方案

·         材料非線性－Newton-Raphson迭代(隱式)，中心差分，R-K（顯式）

·         邊界非線性－接觸(約束，連接，摩擦，滑移）Lagrange乘子，罰函數(shù)

·         幾何非線性－考慮Jaumann率的大變形算法，弧長法（Riks）

6. 非線性分析包含的重要主題

·         選擇近似的方法（如Newton-Raphson）

·         選擇合適的網(wǎng)格描述，動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的描述

·         檢驗(yàn)結(jié)果和求解過程的穩(wěn)定性（物理和數(shù)值）

·         認(rèn)識(shí)模型的平滑響應(yīng)和隱含的求解質(zhì)量和困難

·         判斷假設(shè)的作用和誤差的來源

7. 非線性有限元分析關(guān)聯(lián)的三個(gè)領(lǐng)域

·         線性有限元方法，結(jié)構(gòu)分析矩陣方法的擴(kuò)展；

·         非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)；

·         數(shù)學(xué)，包括數(shù)值分析、線性代數(shù)和泛函。

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