0 引 言

混凝土作為水利工程的常用材料，在溫度、地震等作用下常常產(chǎn)生裂縫。大部分的裂縫并不影響建筑物的正常使用，而少部分裂縫可能會影響結(jié)構(gòu)的使用壽命。研究混凝土的斷裂機(jī)理，是目前比較熱門的課題?，F(xiàn)有的混凝土斷裂力學(xué)認(rèn)為：混凝土的斷裂特性表現(xiàn)為具有時效歷程的斷裂過程[1]。針對混凝土具有的準(zhǔn)脆性的特性，Hillerborg[2]建立了描述混凝土斷裂過程區(qū)傳遞應(yīng)力與裂縫寬度關(guān)系的虛擬裂縫模型，該模型以一條軟化曲線來描述混凝土斷裂過程區(qū)的軟化特性，成為后來學(xué)者研究混凝土斷裂的常用工具[3-5]。國內(nèi)外確定軟化曲線的方法主要有：直接拉伸試驗法、J 積分法及逆推分析法。其中 Evans[6]等最早采用直接拉伸試驗獲得了混凝土拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線的下降段，林皋[7,8]等研究了不同應(yīng)變速率下直拉試驗中混凝土的力學(xué)響應(yīng)，Rice[9]等在考慮裂縫端塑性變形的情況下應(yīng)用全量理論提出了求解平面裂縫問題軟化曲線的 J 積分方法。其后的學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，J 積分方法獲得的軟化曲線準(zhǔn)確性較差，而采用直接拉伸法時由于混凝土的非均質(zhì)特性性，容易面臨應(yīng)力集中、試驗機(jī)剛度不足等問題導(dǎo)致難以獲得軟化曲線完整的下降段[10]，因此 Roelfstra[11] 提出通過反復(fù)調(diào)整軟化曲線參數(shù)以使數(shù)值仿真得到的荷載位移曲線同試驗測得的荷載位移曲線之間差異最小的方法來確定混凝土的軟化曲線，稱為逆推法。國內(nèi)學(xué)者也對此進(jìn)行了較為有益的探索[12,13]。由于混凝土斷裂問題本身具有的復(fù)雜性，目前的研究較難取得統(tǒng)一的認(rèn)識。因而，深入研究混凝土的斷裂機(jī)理有其必要性。

 

本文以雙線性軟化曲線為例，通過 Python 腳本自編程，直接在 Abaqus 平臺上實現(xiàn)了雙線性軟化曲線控制參數(shù)的逆推尋優(yōu)計算。并將逆推得到的荷載-裂縫口張開位移曲線 P-CMOD 及斷裂能同試驗測得的數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較分析。

 

1 雙線性軟化曲線及控制參數(shù)

與傳統(tǒng)的線彈性斷裂力學(xué)理論不同，非線性斷裂力學(xué)理論認(rèn)為混凝土開裂破壞時裂縫尖端存在具有一定幾何尺寸的微裂區(qū)，稱之為斷裂過程區(qū)（FPZ）。斷裂過程區(qū)介于完全喪失黏聚力的宏觀裂縫區(qū)與未開裂區(qū)混凝土之間，其力學(xué)特性表現(xiàn)為隨著微裂區(qū)持續(xù)張開斷裂過程區(qū)的黏聚應(yīng)力持續(xù)降低?；炷翑嗔堰^程區(qū)的存在使得混凝土實際斷裂過程中存在明顯的軟化特性。作為描述混凝土斷裂過程裂縫尖端軟化本構(gòu)關(guān)系的軟化曲線，常有幾種簡化形式主要包含直線型、折線型、指數(shù)型軟化曲線。其中折線型軟化曲線中的雙線性軟化曲線是混凝土斷裂分析廣泛使用的本構(gòu)模型，如圖 1 所示，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

 

 

 

這種形式相應(yīng)的斷裂能可以表示為：

 

 

 

可以看到雙線性軟化曲線的縱、橫坐標(biāo)截距、及轉(zhuǎn)折點處的位置坐標(biāo)四個參數(shù)是確定軟化曲線形狀及斷裂能大小的基本參數(shù)。

 

 

圖 1 雙線性軟化曲線

 

2.1 誤差定義

雙線性軟化曲線參數(shù)不同，代入有限元程序進(jìn)行數(shù)值計算獲得的 P-CMOD 曲線就不同。逆推分析的目的即為找出雙線性軟化曲線最合適參數(shù)，以使數(shù)值計算得到的 P-CMOD曲線能夠同試驗測得的 P-CMOD 曲線之間誤差最小。為了刻畫它們兩者之間的差異，記數(shù)

 

 

圖 2 誤差定義

 

2.2 優(yōu)化算法

軟化曲線的逆推問題可簡化為找尋一組參數(shù) ，以使得 最小的單目標(biāo)優(yōu)化問題，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

 

 

 

 

式中， 為常數(shù)。在優(yōu)化過程中， 越小，個體的適應(yīng)度越大，適應(yīng)度越大的個體在選擇過程中越容易得到保留。

 

2.3 逆推流程

本文采用 Python 編程，將所編腳本直接在 Abaqus 平臺上運(yùn)行計算。構(gòu)建的逆推運(yùn)行流程如下：①根據(jù)三線性軟化曲線控制參數(shù)確定優(yōu)化變量；②配置進(jìn)化算法相關(guān)參數(shù)（雜交、變異、選擇算子、終止條件等），生成初代種群并對個體進(jìn)行編碼；③根據(jù)該代種群相應(yīng)個體確定軟化曲線代入有限元程序中進(jìn)行計算得到不同個體數(shù)值仿真 P-CMOD 曲線與試驗 P-CMOD 曲線的誤差 ；④根據(jù)種群中個體誤差 計算該代的適應(yīng)度；⑤根據(jù)適應(yīng)度分布狀況進(jìn)行雜交、變異運(yùn)算、選擇運(yùn)算生成下一代種群并計算相應(yīng)適應(yīng)度，⑥判斷該代優(yōu)化變量是否滿足終止條件（達(dá)到最大進(jìn)化代數(shù)或 達(dá)到允許誤差）：若不滿足，則轉(zhuǎn)到流程③；若滿足，對最后一代種群中的最優(yōu)個體進(jìn)行解碼，即為軟化曲線的最優(yōu)參數(shù)。

 

3 數(shù)值算例

3.1 模型建立

逆推的實質(zhì)是比較數(shù)值計算得到的 P-CMOD 曲線同試驗測得的 P-CMOD 曲線的差

異，本文選取 Jeffrey[15]的梁深為 63mm 的三點彎曲切口梁試驗作為數(shù)值算例，編號為

CB63-80a、CB63-80b、CB63-80c 的三個試件梁長 L 為 350mm，跨長 S 為 250mm，梁深D 為 63mm，梁厚 t 為 80mm，跨中切口深α0為 21mm，試件尺寸參數(shù)如圖 3 所示。試驗測得的 P-CMOD 曲線見圖 4，根據(jù) RILEM 推薦的方法計算的斷裂能分別為 123 N/m、124 N/m、123 N/m。選取黏聚裂縫模型作為逆推分析中的計算模型，其 值根據(jù)專著[16]介紹依據(jù) Brazilian test 確定，取 。計算過程中混凝土其余部分取彈模，泊松比 。逆推分析過程中定義誤差取 ，構(gòu)造適應(yīng)度函數(shù)取 。

 

 

圖 3 三點彎曲梁試件尺寸

 

 

圖 4 梁深 D=63mm 試件的 P-CMOD 試驗曲線

 

3.2 逆推結(jié)果及討論

基于 2.3 節(jié)所闡述的流程進(jìn)行逆推分析，其結(jié)果如表 1 所示，CB63-80a、CB63-80b、CB63-80c 三個試件計算的適應(yīng)度分別為 0.973、0.975、0.934。圖 5、圖 6、圖 7 分別為逆推得到的 P-CMOD 曲線同試驗測得的 P-CMOD 曲線的比較，可以看到，兩者均能夠較好吻合，試驗測得的荷載峰值分別為 2717.76N、2730.73N、2822.60N，逆推得到的荷載峰值分別為 2644.14N、2737.61N、2683.32N，兩者之間的誤差均分別為 2.7%、0.25%、4.9%。逆推分析的斷裂能可以根據(jù)表 1 得到的軟化曲線控制參數(shù)利用式（2）計算得到，分別為 134.7N/m、124.3N/m、124.9N/m，文獻(xiàn)[15]中根據(jù) RILEM 推薦方法計算的斷裂能分別為 123 N/m、124 N/m、123 N/m，兩者之間的誤差分別為 9.5%、0.24%、1.5%，見圖8。逆推得到的 P-CMOD 曲線的荷載峰值同試驗測得的數(shù)據(jù)之間誤差均不超過 5%，逆推得到的斷裂能同試驗計算的斷裂能之間誤差不超過 10%。Kyoungsoo[17]根據(jù) Jeffery[15]的試驗數(shù)據(jù)研究了軟化曲線轉(zhuǎn)折點的確定，其首先根據(jù) Shah[18,19]的兩參數(shù)斷裂模型(TPFM)計算了斷裂能，接著依據(jù) Wittmann

[20]的研究確定軟化曲線轉(zhuǎn)折點處 為 0.25，進(jìn)而確定軟化曲線的形狀代入有限元程序中進(jìn)行了數(shù)值計算，最后比較了該方法數(shù)值計算得到的P-CMOD 無量綱曲線（將原 P-CMOD 曲線原橫縱坐標(biāo)無量綱化處理，處理后的橫坐標(biāo)表示為 ，縱坐標(biāo)表示為 ）同試驗測得的曲線之間的差異，圖 9 比較了采用逆推法得到的 P-CMOD 無量綱曲線同 Kyoungsoo 文獻(xiàn)[17]的方法得到的 P-CMOD 無量綱曲線之間的差異，可以發(fā)現(xiàn)逆推得到的 P-CMOD 無量綱曲線比文獻(xiàn)[17]采用的方法得到的 P-CMOD 無量綱曲線更接近試驗測得的實際曲線，體現(xiàn)了逆推法的優(yōu)勢。圖 10 比較了逆推得到的三條軟化曲線，以轉(zhuǎn)折點處為區(qū)分可將雙線性軟化曲線劃分為第一下降段和第二下降段，圖 10 的結(jié)果顯示，逆推得到的三條軟化曲線的其第一下降段相比十分接近，Ba?ant 的專著[16]中認(rèn)為雙線性軟化曲線的第一下降段的斜率決定了數(shù)值計算的 P- CMOD 曲線的荷載峰值，本文的計算結(jié)果也從側(cè)面證了這點。

 

表 1 逆推分析結(jié)果

 

 

 

圖 5 CB63-80a 試件逆推 P-CMOD 曲線同試驗曲線比較

 

 

圖 6 CB63-80b 試件逆推 P-CMOD 曲線同試驗曲線比較

 

 

圖 7 CB63-80c 試件逆推 P-CMOD 曲線同試驗曲線比較

 

 

圖 8 逆推斷裂能與 RILEM 方法計算的斷裂能之間的比較

 

 

圖 9 試驗與逆推得到的 P-CMOD 無量綱

 

 

圖 10 CB63-80a、CB63-80b、CB63-80c 試件

逆推軟化曲線之間的比較

 

4 結(jié)論

本文采用 Python 編程利用進(jìn)化算法對混凝土雙線性軟化曲線進(jìn)行了逆推分析，可得出如下結(jié)論：

（1）與常規(guī)的直接編程方法相比，本文采用 Python 腳本編程，直接在 Abaqus 平臺上實現(xiàn)逆推分析計算，避開了繁瑣的有限元求解器的編程工作，專注于參數(shù)化建模的實現(xiàn)，提高了分析計算的效率，是一種值得推廣的方法。

（2）計算結(jié)果表明，采用本文的方法對混凝土雙線性軟化曲線進(jìn)行逆推分析是行之有效的，逆推得到的 P-CMOD 曲線荷載峰值、斷裂能同試驗測得的荷載峰值、斷裂能之間誤差不超過 10%，滿足工程應(yīng)用的實際要求。

（3）利用 Abaqus 豐富的二次開發(fā)接口，能夠?qū)崿F(xiàn)例如定義本構(gòu)、編制算法等功能。繼續(xù)深入研究混凝土的斷裂本構(gòu)關(guān)系、更精細(xì)地定義誤差以及改進(jìn)優(yōu)化算法等是下一步研究的重點。

 

資料來源：達(dá)索官方