穩(wěn)定性限制了ABAQUS/Explicit求解器所能采用的最大時間步長，這是應用ABAQUS/Explicit進行計算的一個重要因素。本節(jié)將描述穩(wěn)定性限制并討論如何在ABAQUS/Explicit中確定這個值，還將討論影響穩(wěn)定性限制的有關模型設計參數(shù)的問題，這些模型參數(shù)包括模型的質量、材料和網(wǎng)格劃分。

 

7.3.1 顯式方法的條件穩(wěn)定性

應用顯式方法，基于在增量步開始時刻t的模型狀態(tài)，通過時間增量?t前推到當前時刻的模型狀態(tài)。使得狀態(tài)能夠前推并仍能夠保持對問題的精確描述的時間是非常短的，如果時間增量大于這個最大的時

 

間步長，則此時間增量已經(jīng)超出穩(wěn)定性限制（stability limit）。超過穩(wěn)定性限制的一個可能后果就是數(shù)值不穩(wěn)定，它可能導致解答不收斂。

 

由于一般不可能精確地確定穩(wěn)定性限制，因而通常采用保守的估計值。因為穩(wěn)定性限制對可靠性和精確性有很大的影響，所以必須一致并保守地確定這個值。為了提高計算效率，ABAQUS/Explicit選擇時間增量，使其盡可能地接近而且又不超過穩(wěn)定性限制。

 

7.3.2 穩(wěn)定性限制的定義

以在系統(tǒng)中的最高頻率wmax的形式定義穩(wěn)定性限制。無阻尼的穩(wěn)定極限由式（7-11）定義

 

而有阻尼的穩(wěn)定極限由下式定義

 

 

式中，ζ是最高頻率模態(tài)的臨界阻尼部分（臨界阻尼定義了在自由的和有阻尼的振動關系中，有振蕩運動與無振蕩運動之間的限制。為了控制高頻振蕩，ABAQUS/Explicit總是以體積黏性的形式引入一個小量的阻尼）。這也許與工程上的直覺相反，阻尼通常是減小穩(wěn)定性限制的。

 

在系統(tǒng)中的實際最高頻率基于一組復雜的相互作用因素，而且不大可能計算出確切的值。代替的辦法是應用一個有效的和保守的簡單估算，不考慮模型整體，而是估算在模型中每個個體單元的最高頻率，它總是與膨脹模態(tài)有關?？梢宰C明，以逐個單元為基礎確定的最高單元頻率總是高于有限元組合模型的最高頻率。

 

基于逐個單元的估算，穩(wěn)定極限可以用單元長度Le和材料波速cd重新定義

 

 

 

因為沒有明確如何確定單元的長度，所以對于大多數(shù)單元類型，例如一個扭曲的四邊形單元，上述方程只是關于實際的逐個單元穩(wěn)定極限的估算。作為近似值，可以采用最短的單元尺寸，但是估算的結果并不一定是保守的。單元長度越短，穩(wěn)定極限越小。波速是材料的一個特性，對于泊松比為零的線彈性材料

 

 

其中，E是楊氏模量，ρ是材料密度。材料的剛度越大，波速越高，導致越小的穩(wěn)定極限；密度越高，波速越低，導致越大的穩(wěn)定極限。

 

這種簡單的穩(wěn)定極限定義提供了某些直覺上的理解。穩(wěn)定極限是當膨脹波通過由單元特征長度定義的距離時所需要的時間。如果知道最小的單元尺寸和材料的波速，就能夠估算穩(wěn)定極限。例如，如果最小單元尺寸是5mm，膨脹波速是5000m/s，那么穩(wěn)定的時間增量就在1×10-6s的量級上。

 

7.3.3 ABAQUS/Explicit中的完全自動時間增量與固定時間增量

在分析過程中，ABAQUS/Explicit應用在7.3.2節(jié)的方程中調整時間增量的值，使得基于模型的當前狀態(tài)的穩(wěn)定極限永不越界。時間增量是自動的，并不需要用戶干涉，甚至不需要建議初始的時間增量。

 

穩(wěn)定極限是從數(shù)值模型得來的一個數(shù)學概念，因為有限元程序包含了所有的相關細節(jié)，所以能夠確定出一個有效的和保守的穩(wěn)定極限。然而，ABAQUS/Explicit允許用戶不考慮自動時間增量。

 

在顯式分析中所采用的時間增量必須小于中心差分算子的穩(wěn)定極限。如果未能使用足夠小的時間增量，則會導致不穩(wěn)定的解答。當解答不穩(wěn)定時，求解變量（如位移）的時間歷史響應一般會出現(xiàn)振幅不斷增加的振蕩，總體的能量平衡也將發(fā)生顯著的變化。如果模型只包含一種材料，則初始時間增量直接與網(wǎng)格中的最小單元尺寸成正比；如果網(wǎng)格中包含了均勻尺寸的單元但是卻包含多種材料，那么具有最大波速的單元將決定初始的時間增量。

 

在具有大變形和／或非線性材料響應的非線性問題中，模型的最高頻率將連續(xù)變化，并導致穩(wěn)定極限的變化。對于時間增量的控制，ABAQUS/Explicit有兩種方案：完全的自動時間增量（程序中考慮了穩(wěn)定極限的變化）和固定的時間增量。

 

ABAQUS/Explicit應用兩種估算方法確定穩(wěn)定極限：逐個單元法和整體法。在分析開始時總是使用逐個單元估算法，并在一定的條件下轉變?yōu)檎w估算法。逐個單元估算法是保守的，與基于整體模型最高頻率的真正的穩(wěn)定極限相比較，它將給出一個更小的穩(wěn)定時間增量。一般來說，約束（如邊界條件）和動力學接觸具有壓縮特征值響應譜的效果，而逐個單元估算法沒有考慮這種效果。另一方面，整體估算法應用當前的膨脹波波速確定整個模型的最高階頻率，這種算法為了得到最高頻率將連續(xù)地更新估算值。一般來說，整體估算法允許時間增量超出逐個單元估算法得到的值。

 

ABAQUS/Explicit也提供了固定時間增量算法。固定時間增量的值可以由逐個單元估算法確定，也可以由用戶直接指定時間增量。當要求更精確地表達問題的高階模態(tài)響應時，固定時間增量算法是更有效的，在這種情況下，可能采用比逐個單元估算法更小的時間增量值。如果在分析步中應用了固定時間增量，那么ABAQUS/Explicit將不再檢查計算的響應是否穩(wěn)定。通過仔細檢查能量歷史和其他響應變量，用戶應當確保得到有效的響應。

 

7.3.4 質量縮放以控制時間增量

由于質量密度影響穩(wěn)定極限，所以在某些情況下，縮放質量密度能夠潛在地提高分析的效率。例如，許多模型需要復雜的離散，因此有些區(qū)域常常包含控制穩(wěn)定極限的非常小或者形狀極差的單元。這些控制單元常常數(shù)量很少并且可能只存在于局部區(qū)域，通過僅增加這些控制單元的質量，就可以顯著地增加穩(wěn)定極限，而對模型的整體動力學行為的影響是可以忽略的。

 

ABAQUS/Explicit的自動質量縮放功能可以阻止這些有缺陷的單元對穩(wěn)定極限的影響。質量縮放可以采用兩種基本方法：一種是直接定義一個縮放因子，另一種是對質量有缺陷的單元逐個定義所需要的穩(wěn)定時間增量，這兩種方法都允許對穩(wěn)定極限附加用戶控制。然而，采用質量縮放時也要小心，因為模型質量的顯著變化可能會改變問題的物理模型。

 

7.3.5 材料對穩(wěn)定極限的影響

材料模型通過它對膨脹波波速的限制作用來影響穩(wěn)定極限。在線性材料中波速是常數(shù)，所以，在分析過程中穩(wěn)定極限的唯一變化來自于最小單元尺寸的變化；在非線性材料中，例如產(chǎn)生塑性的金屬材料，當材料屈服和材料的剛度變化時波速發(fā)生變化。在整個分析過程中，ABAQUS/Explicit監(jiān)控模型中材料的有效波速，并應用在每個單元中的當前材料狀態(tài)估算穩(wěn)定性。材料在屈服之后剛度下降，減小了波速并因而相應地增加了穩(wěn)定極限。

 

7.3.6 網(wǎng)格對穩(wěn)定極限的影響

因為穩(wěn)定極限大致與最短的單元尺寸成比例，所以應該優(yōu)先使單元的尺寸盡可能大。遺憾的是，對于精確的分析而言，采用一個細劃的網(wǎng)格常常是必要的。為了在滿足網(wǎng)格精度水平要求的前提下盡可能地獲得最高的穩(wěn)定極限，最好的方法是采用一個盡可能均勻的網(wǎng)格。

 

由于穩(wěn)定極限基于模型中最小的單元尺寸，所以一個單獨的微小單元或者形狀極差的單元都能夠迅速地降低穩(wěn)定極限。為了便于用戶發(fā)現(xiàn)問題，ABAQUS/Explicit在狀態(tài)文件（.sta）中提供了網(wǎng)格中具有最低穩(wěn)定極限的10個單元的清單。如果模型中包含了一些穩(wěn)定極限比網(wǎng)格中其他單元小得多的單元，有必要重新劃分模型網(wǎng)格，以使其更加均勻。

 

7.3.7 數(shù)值不穩(wěn)定性

在大多數(shù)情況下，ABAQUS/Explicit對于大多數(shù)單元保持了穩(wěn)定。但是，如果定義了彈簧和減振器單元，那么它們在分析過程中有可能變得不穩(wěn)定。因此，能夠在分析過程中識別是否發(fā)生了數(shù)值不穩(wěn)定性是非常有用的。如果確實發(fā)生了數(shù)值不穩(wěn)定，典型的情況是結果變得無界，沒有物理意義，而且解時常是振蕩的。

 

（內容、圖片來源：《ABAQUS 2020有限元分析從入門到精通》，侵刪）

 

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