本節(jié)講述了ABAQUS/Explicit求解器的算法，對隱式和顯式時間積分做了比較，并探討了顯式方法的優(yōu)越性。

 

7.2.1 顯式時間積分

ABAQUS/Explicit應(yīng)用中心差分方法對運動方程進行顯式的時間積分，應(yīng)用一個增量步的動力學(xué)條件計算下一個增量步的動力學(xué)條件。在增量步開始時，程序求解動力學(xué)平衡方程，表示為用節(jié)點質(zhì)量矩陣M乘以節(jié)點加速度ü等于節(jié)點的合力（所施加的外力P與單元內(nèi)力I

的差值），即

 

 

 

在當(dāng)前增量步開始時（t時刻），計算加速度為

 

 

 

由于顯式算法總是采用一個對角的或者集中的質(zhì)量矩陣，所以求解加速度并不復(fù)雜，不必同時求解聯(lián)立方程。任何節(jié)點的加速度完全取決于節(jié)點質(zhì)量和作用在節(jié)點上的合力，使得節(jié)點計算的成本非常低。

 

對加速度在時間上進行積分采用中心差分方法，在計算速度的變化時假定加速度為常數(shù)。應(yīng)用這個速度的變化值加上前一個增量步中點的速度來確定當(dāng)前增量步中點的速度，即

 

 

 

速度對時間的積分加上在增量步開始時的位移以確定增量步結(jié)束時的位移，即

 

 

 

這樣，在增量步開始時提供了滿足動力學(xué)平衡條件的加速度。得到了加速度，在時間上顯式地前推速度和位移。所謂顯式是指在增量步結(jié)束時的狀態(tài)僅依賴于該增量步開始時的位移、速度和加速度。這種方法精確地積分常值的加速度，為了使該方法產(chǎn)生精確的結(jié)果，時間增量必須相當(dāng)小，這樣在增量步中加速度幾乎為常數(shù)。由于時間增量步必須很小，所以一個典型的分析需要成千上萬個增量步。幸運的是，因為不必同時求解聯(lián)立方程組，所以每一個增量步的計算成本很低，大部分的計算成本消耗在單元的計算上，以此確定作用在節(jié)點上的單元內(nèi)力。單元的計算包括確定單元應(yīng)變和應(yīng)用材料本構(gòu)關(guān)系（單元剛度）確定單元應(yīng)力，從而進一步計算內(nèi)力。下面給出了顯式動力學(xué)方法的總結(jié)。

 

（1）節(jié)點計算。

動力學(xué)平衡方程為

 

 

對時間顯式積分

 

 

 

（2）單元計算。

根據(jù)應(yīng)變率 ，計算單元應(yīng)變增量dε。

根據(jù)本構(gòu)關(guān)系計算應(yīng)力σ為

 

 

（3）設(shè)置時間t為t+?t，返回到步驟（1）。

 

7.2.2 比較隱式和顯式時間積分程序

對于隱式和顯式時間積分程序，都是以所施加的外力P、單元內(nèi)力I和節(jié)點加速度的形式定義平衡，即

 

 

 

其中，M是質(zhì)量矩陣。兩個程序求解節(jié)點加速度，并應(yīng)用同樣的單元計算以獲得單元內(nèi)力，兩個程序之間最大的不同在于求解節(jié)點加速度的方式上。在隱式程序中，通過直接求解的方法求解一組線性方程組，與應(yīng)用顯式方法節(jié)點計算的成本相比，求解這組方程組的計算

成本要高得多。

 

在完全牛頓迭代求解方法的基礎(chǔ)上，ABAQUS/Standard使用自動增量步。在時刻t+?t增量步結(jié)束時，牛頓法尋求滿足動力學(xué)平衡方程，并計算出同一時刻的位移。由于隱式算法是無條件穩(wěn)定的，所以

 

 

 

時間增量?t比應(yīng)用于顯式方法的時間增量相對大一些。對于非線性問題，每一個典型的增量步需要經(jīng)過幾次迭代才能獲得滿足給定容許誤差的解答。每次Newton迭代都會得到對于位移增量Duj的修正值cj。每次迭代需要求解的一組瞬時方程為

 

對于較大的模型，這是一個高成本的計算過程。有效剛度矩陣是關(guān)于本次迭代的切向剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的線性組合，直到這些量（如力殘差、位移修正值等）滿足了給定的容許誤差才結(jié)束迭代。對于一個光滑的非線性響應(yīng)，Newton方法以二次速率收斂，迭代相對誤差的描述如表7-1所示。

 

表7-1 迭代相對誤差

 

 

然而，如果模型包含高度的非連續(xù)過程，如接觸和滑動摩擦，則有可能失去二次收斂，并需要大量的迭代過程。為了滿足平衡條件，需要減小時間增量的值。在極端情況下，在隱式分析中的求解時間增量值可能與在顯式分析中的典型穩(wěn)定時間增量值在同一量級上，但是

仍然承擔(dān)著隱式迭代的高成本求解成本。在某些情況下，應(yīng)用隱式方法甚至可能不會收斂。

 

在隱式分析中，每一次迭代都需要求解大型的線性方程組，這一過程需要占用大量的計算資源、磁盤空間和內(nèi)存。對于大型問題，對這些方程求解器的需求優(yōu)于對單元和材料的計算的需求，這同樣適用于ABAQUS/Explicit分析。隨著問題尺度的增加，對方程求解器的需求迅速增加，因此在實踐中，隱式分析的最大尺度常常取決于給定計

 

算機中的磁盤空間和可用內(nèi)存的大小，而不是取決于需要的計算時間。

 

7.2.3 顯式時間積分方法的優(yōu)越性

顯式方法尤其適用于求解高速動力學(xué)事件，它需要許多小的時間增量來獲得高精度的解答。如果事件持續(xù)的時間十分短，則可能得到高效率的解答。

 

在顯式方法中可以很方便地模擬接觸條件和其他一些極度不連續(xù)的情況，并且能夠一個節(jié)點一個節(jié)點地求解而不必迭代。為了平衡在接觸時的外力和內(nèi)力，可以調(diào)整節(jié)點加速度。

 

顯式方法最顯著的特點是沒有在隱式方法中所需要的整體切向剛度矩陣。由于是顯式地前推模型的狀態(tài)，所以不需要迭代和收斂準(zhǔn)則。

 

（內(nèi)容、圖片來源：《ABAQUS 2020有限元分析從入門到精通》，侵刪）

 

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