什么是穩(wěn)定極限值？如何確定穩(wěn)定極限值?影響穩(wěn)定極限值大小的因素有哪些？

默認(rèn)情況下，ABAQUS/Explicit在分析過(guò)程中的增量步大小完全由求解器自動(dòng)控制，即自動(dòng)增量步長(zhǎng)法(fully automatic time incrementation)。ABAQUS/Explicit 是顯式求解器，在分析過(guò)程中是有條件穩(wěn)定的，增量步必須小于某個(gè)極限值，以保證加速度在每個(gè)增量步中盡量接近常數(shù)，這樣才能對(duì)速度和位移進(jìn)行精確積分，此極限值稱為穩(wěn)定極限值(stabilitylimit)，即分析所允許的最大穩(wěn)定增量步長(zhǎng)。它是ABAQUS/Explicit 分析必須考慮的重要因素之一。為了提高求解效率，ABAQUS/Explicit 在分析過(guò)程中總是盡可能選取穩(wěn)定極限值作為增量步長(zhǎng)。

確定穩(wěn)定極限值的方法有兩種:單元-單元估計(jì)法和總體估計(jì)法。ABAQUS/Explicit總是先根據(jù)單元-單元估計(jì)法估計(jì)穩(wěn)定極限值的大小，然后在某些特定條件下跳轉(zhuǎn)到總體估計(jì)法確定穩(wěn)定極限值。

單元-單元估計(jì)法比較保守，它給出一個(gè)比實(shí)際的穩(wěn)定極限值更小的穩(wěn)定增量步長(zhǎng)。一般情況下，模型中的各種約束和接觸關(guān)系都有抑制特征值頻譜的效應(yīng)，單元-單元估計(jì)法不考慮這些因素的影響。

總體估計(jì)法采用當(dāng)前擴(kuò)張波速估計(jì)整個(gè)模型的最大頻率。…，在分析過(guò)程中不斷地更新最大頻率的估計(jì)值。總體估計(jì)法算得的穩(wěn)定增量步長(zhǎng)往往超過(guò)單元-單元估計(jì)法算得的穩(wěn)定增量步長(zhǎng)。總體估計(jì)法確定穩(wěn)定極限值的計(jì)算公式為：

1)無(wú)阻尼系統(tǒng)：

2)有阻尼系統(tǒng)：

式中臨界阻尼比。對(duì)于高階振動(dòng)問(wèn)題，w較大，因此穩(wěn)定極限值較小，總的增量步數(shù)會(huì)非常大，這時(shí)ABAQUS/Explicit會(huì)通過(guò)引人體積粘性(bulk viscosity)的方法來(lái)引入一個(gè)小的阻尼。模型的高階頻率取決于多種復(fù)雜因素，其準(zhǔn)確值是不可能獲得的。采用保守的單元-單元估計(jì)法，穩(wěn)定極限值重新定義為以下形式：

式中 L'--單元的長(zhǎng)度，對(duì)于極度扭曲的單元，'一般等于最短的單元尺寸；c：--材料的波速，是材料本身的特性。

對(duì)于線彈性材料(假設(shè)泊松比v=0)，c的計(jì)算公式如下：

式中 E--彈性模量；

p--密度。

由上述公式可以看出，影響穩(wěn)定極限值大小的因素包括：

1）材料密度。根據(jù)式(15-4)和式(15-5)，密度越大，材料的波速c就越小，穩(wěn)定極限值也就越大。采用質(zhì)量縮放(massscaling)技術(shù)人為地增大材料密度，可以增大穩(wěn)定極限值，節(jié)省分析時(shí)間。例如，復(fù)雜模型的局部區(qū)域可能包含非常小或形狀很差的單元，這些單元即使數(shù)量很少，也可能決定穩(wěn)定極限值的大小。如果對(duì)這些單元進(jìn)行質(zhì)量縮放，可以很明顯地節(jié)省分析時(shí)間。

需要注意的是，采用質(zhì)量縮放技術(shù)增大材料密度會(huì)增大動(dòng)態(tài)分析的慣性效應(yīng)，如同增大了加載速率。如果質(zhì)量縮放系數(shù)過(guò)大，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的分析結(jié)果。選擇質(zhì)量縮放系數(shù)的方法和選擇加載速率的方法是類似的，都要保證不影響動(dòng)態(tài)分析結(jié)果的精度。

在ABAQUS/CAE定義質(zhì)量縮放的方法為，在Step功能模塊中創(chuàng)建顯式動(dòng)態(tài)分析步時(shí)，單擊Massscaling標(biāo)簽頁(yè)，選擇Use scaling definitionsbelow，單擊Create，彈出如圖15-3所示的對(duì)話框，其中的主要參數(shù)為：

① Objective(目標(biāo))：默認(rèn)的設(shè)置是 Semi-automatic mass scaling(半自動(dòng)質(zhì)量縮放)，對(duì)于絕大多數(shù)分析類型都適用。

②Region(質(zhì)量縮放的區(qū)域)：默認(rèn)的設(shè)置是Whole model(整個(gè)模型)，也可以選擇Set，指定需要質(zhì)量縮放的單元集臺(tái)。

③Type：可以選擇 Scale byfactor，直接給出質(zhì)量縮放系數(shù)，也可以選擇 Scale to targettimeincrement，直接設(shè)定穩(wěn)定增量步的大小。

相關(guān)內(nèi)容的詳細(xì)介紹，請(qǐng)參見ABAQUS6.7幫助文檔《GettingStarted with ABAQUS:In-teractive Edition》第9.3節(jié)“Automatic'time incrementation.and stability”、第13.3節(jié)“Massscaling”和《ABAQUS Analysis User's Manual》第11.7.1節(jié)“Mass scaling” 。2)材料特性。根據(jù)式(15-4)和式(15-5)，材料特性也會(huì)影響穩(wěn)定極限值的大小。對(duì)于線彈性材料，其彈性模量是常數(shù)，因此材料的波速也是常數(shù);對(duì)于非線性材料(例如金屬塑性材料)，隨著材料的屈服，剛度會(huì)變小，導(dǎo)致波速減小，穩(wěn)定極限值會(huì)隨之增大。3)單元網(wǎng)格。根據(jù)式(15-4)，穩(wěn)定極限值與最小單元尺寸成正比，即使模型中只有一個(gè)很小的或者形狀扭曲的單元存在，都會(huì)大大降低穩(wěn)定極限值，增加計(jì)算時(shí)間。為了增加穩(wěn)定增量步長(zhǎng)，加快分析速度，不應(yīng)劃分過(guò)于細(xì)化的網(wǎng)格，但同時(shí)要注意，過(guò)粗的網(wǎng)格會(huì)降低分析結(jié)果的精度。實(shí)際建模過(guò)程中，應(yīng)在保證分析精度的前提下，選擇適當(dāng)?shù)木W(wǎng)格密度并且應(yīng)盡量保證單元形狀是規(guī)則的。

ABAQUS/Explicit 在STA文件中列出了穩(wěn)定極限值最小的10個(gè)單元，可以查看這些單元所在的位置，改進(jìn)相應(yīng)區(qū)域的網(wǎng)格，或在這一區(qū)域使用質(zhì)量縮放技術(shù)。

4) 單元類型。如果分析過(guò)程中增量步長(zhǎng)超過(guò)穩(wěn)定極限值，可能會(huì)出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象(numerical instability)，導(dǎo)致異常的計(jì)算結(jié)果。ABAQUS/Explicit 對(duì)于絕大部分單元都能夠保持?jǐn)?shù)值穩(wěn)定。但是，如果模型中包含彈簧單元和阻尼器單元，就有可能出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，這時(shí)會(huì)看到不符合物理規(guī)律的計(jì)算結(jié)果，而且解往往是振蕩的。

ABAOUS/Explicit分析中的自動(dòng)增量步長(zhǎng)(fully automatic time incrementation)與固定增量步長(zhǎng)(fixed timeincrementation)有何區(qū)別？

自動(dòng)增量步長(zhǎng)是ABAQUS/Explicit的默認(rèn)設(shè)置，在分析過(guò)程中ABAQUS將自動(dòng)調(diào)整增量步的大小，使其不超過(guò)穩(wěn)定極限值，以保證計(jì)算結(jié)果是可靠的。使用自動(dòng)增量步長(zhǎng)時(shí)，無(wú)需給出初始增量步的大小，創(chuàng)建分析步時(shí)的相關(guān)參數(shù)設(shè)置如圖15-4所示。

如果在圖15-4中選擇Fixed，就是使用固定增量步長(zhǎng)(fixedtimeincrementation)進(jìn)行分析，此時(shí)，ABAQUS/Explicit不會(huì)再檢查計(jì)算結(jié)果是否穩(wěn)定，用戶必須通過(guò)查看能量歷史來(lái)保證其計(jì)算結(jié)果是穩(wěn)定可靠的。如果需要獲得模型高階響應(yīng)的精確解，采用固定增量步長(zhǎng)的方法會(huì)更適合，這時(shí)增量步長(zhǎng)比單元-單元估計(jì)法的估計(jì)值要小。

（內(nèi)容、圖片來(lái)源：《ABAQUS有限元分析常見問(wèn)題解答》，侵刪）

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