1、引言

有限元方法是求解各種復(fù)雜數(shù)學(xué)物理問題的重要方法，是處理各種復(fù)雜工程問題的重要分析手段，也是進(jìn)行科學(xué)研究的重要工具。該方法的應(yīng)用和實(shí)施包括三個(gè)方面：計(jì)算原理、計(jì)算機(jī)軟件、計(jì)算機(jī)硬件。這三個(gè)方面是相互關(guān)聯(lián)的，缺一不可。正是由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，才使得有限元方法的應(yīng)用如此廣泛和普及，使之成為最長常用的分析工具。目前，國際上有90%的機(jī)械產(chǎn)品和裝備都要采用有限元進(jìn)行分析，進(jìn)而進(jìn)行設(shè)計(jì)修改和優(yōu)化。實(shí)際上有限元分析已經(jīng)成為替代大量實(shí)物試驗(yàn)的數(shù)值化“虛擬試驗(yàn)”，基于該方法的大量計(jì)算分析與典型的驗(yàn)證性試驗(yàn)相結(jié)合可做到高效率和低成本。

有限元法講解及運(yùn)用

2.有限元方法的歷史

  20世紀(jì)40年代，由于航空事業(yè)的飛速發(fā)展，對(duì)飛機(jī)的結(jié)構(gòu)提出了愈來愈高的要求，即質(zhì)量輕、強(qiáng)度高、剛度好，人們不得不進(jìn)行精確的設(shè)計(jì)和計(jì)算，正是在這一背景下，逐漸在工程 中產(chǎn)生了矩陣力學(xué)分析方法，1941年 ，Hrenikoff使用“框架邊形功德方法”求解了一個(gè)彈性 問題，1943年，Courant發(fā)表了一篇使用三角形區(qū)域的多 項(xiàng)式函數(shù)來求解扭轉(zhuǎn)問題的論文，這些工作開創(chuàng)了有限 元分析的先河。

1956年波音公司的Turner，Clough，Martin和Topp在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)系統(tǒng)研究了離散桿，梁三角形的單元?jiǎng)偠缺磉_(dá)式，兵求得了平面應(yīng)力問題的正確解答，1960年Clough在處理平面彈性平面時(shí)，第一次 提出并用“有限元方法”得名稱。隨后大量的工程師開 始使用這一離散方法來處理結(jié)構(gòu)分析，流體問題，熱傳導(dǎo)等復(fù)雜問題。1955年德國的Argyris出版了第一本關(guān)于 結(jié)構(gòu)中能量原理和矩陣方法得書，為后續(xù)的有限元研究 奠定了重要的基礎(chǔ)，1967年Zienkiewciz和Cheung出版了 第一本有關(guān)有限元分析得專著。1970年以后有限元方法 開始應(yīng)用于處理的非線性分大變形問題，Oden于1972年出版了第一本關(guān)于處理非線性連續(xù)體的專著。這一時(shí)期 的理論研究工作是比較簡單的實(shí)際問題，1975年，對(duì)一個(gè)300單元的模型，在當(dāng)時(shí)先進(jìn)的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行2000萬次 計(jì)算大約需要30小時(shí)的機(jī)時(shí)，花費(fèi)約3萬美金，如此高昂 的計(jì)算成本嚴(yán)重限制了有限元方法得發(fā)展和普及。然而，許多工程師們都對(duì)有限元方法的發(fā)展你前途非常清楚，因?yàn)樗峁┝艘环N處理復(fù)雜真實(shí)問題的有力工具。

在工程師研究和應(yīng)用有限元方法得同時(shí)，一些數(shù)學(xué) 家也在研究求解有限元的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，實(shí)際上1943年 Courant得哪一篇開創(chuàng)性得論文就是研究求解平衡問題的 變分方法，1963年Besseling，Meldsh和jones等人研究 了有限元方法得數(shù)學(xué)原理。還有學(xué)者進(jìn)一步研究了加權(quán) 殘值法與有限元方法之間的關(guān)系，對(duì)于一些尚未確定出 能量泛函得復(fù)雜問題，也可以建立起有限元分析的基本方程，這可以將有限元方法德應(yīng)用領(lǐng)域大大的擴(kuò)展，我 國的胡海昌于1954年提出了廣義變分原理，錢偉長最先 研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間的關(guān)系。馮 康研究了有限元分析得精度于收斂性問題。

我國著名力學(xué)家，教育家徐芝綸院士（河海大學(xué)教授）首次將有限元法引入我國，對(duì)它的應(yīng)用起了很大的推動(dòng)作用。

3.有限元法的基本思想

有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計(jì)算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系。

基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。

方法運(yùn)用的基本步驟：

步驟1：剖分

將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個(gè)元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）。

步驟2：單元分析

進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開，即建立一個(gè)線性插值函數(shù)。

步驟3：求解近似變分方程

用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化，通過對(duì)有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元：桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個(gè)桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個(gè)單元的場函數(shù)是只包含有限個(gè)待定節(jié)點(diǎn)參量的簡單場函數(shù)，這些單元場函數(shù)的集合就能近似代表整個(gè)連續(xù)體的場函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)殘量方程可建立有限個(gè)待定參量的代數(shù)方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。

有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法十分有效、通用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛，已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計(jì)使用。結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)，有限元法也被用于計(jì)算機(jī)輔助制造中。

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